בגרות 471: שאלות 9–10גיאומטריה 471 · שיעור 30

גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות

שיעור 30: בגרות 471: שאלות 9–10

פרק 11 · שאלות בגרות

1קיץ 2026 מועד א · שאלה 5 – משולש חסום במעגל ומשיק

2חורף 2026 · שאלה 4 – משולש חסום, דמיון ומשיק

3פתרון מלא, סעיף אחרי סעיף

בגרות 471 · קיץ 2026 מועד א · שאלה 5 · סעיף א

ABC חסום במעגל, CB קוטר, AB ∥ ציר ה־y. המשך CB חותך את ציר ה־x ב־D. המשיק ב־C חותך את ציר ה־x ב־F
א. (1) הסבירו מדוע AC ∥ ציר ה־x (2) הוכיחו: △ABC ∼ △CFD

∢CAB = 90

זווית היקפית הנשענת על הקוטר CB

AC ⊥ AB , ו־AB ∥ ציר ה־y

מהשורה הקודמת + נתון

AC ⊥ ציר ה־y ← AC ∥ ציר ה־x

ישר המאונך לציר ה־y מקביל לציר ה־x

AC ∥ FD

FD על ציר ה־x

∢FCD = 90

המשיק מאונך לרדיוס (CD על הקוטר)

∢ACB = ∢CDF

מתחלפות בין המקבילים AC ו־FD

△ABC ∼ △CFD

ז.ז (A ↔ C , B ↔ F , C ↔ D)

✅ פתרון סופי: AC ∥ ציר ה־x , △ABC ∼ △CFD

📐 משפט

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)

📐 כלל

ישר המאונך לציר ה־y מקביל לציר ה־x (ולהפך)

📐 משפט

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

📐 משפט

בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות

📐 משפט דמיון

ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים

בגרות 471 · קיץ 2026 מועד א · שאלה 5 · סעיף ב

נתון: D(8 , 0) , והמשיק CF: y = 4/3 x + 31
ב. מצאו את אורך FD

0 = 4/3 x + 31

F על ציר ה־x: מציבים y = 0

x = −31 · 3/4 = −23.25 ← F(−23.25 , 0)

מעבירים אגפים ומחלקים

FD = 8 − (−23.25) = 31.25

שתי הנקודות על ציר ה־x

✅ פתרון סופי: FD = 31.25

📐 כלל

נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

📐 כלל

מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)

בגרות 471 · קיץ 2026 מועד א · שאלה 5 · סעיף ג

ג. (1) מצאו את משוואת CD (2) מצאו את אורך CD

4/3 · m_CD = −1 ⟹ m_CD = −3/4

CD ⊥ CF; ישרים מאונכים

y − 0 = −3/4 (x − 8) ⟹ y = −3/4 x + 6

משוואת ישר דרך D(8 , 0)

4/3 x + 31 = −3/4 x + 6

C – חיתוך CF ו־CD

16x + 372 = −9x + 72

כופלים ב־12

25x = −300 ⟹ x = −12

מעבירים אגפים ומחלקים ב־25

y = −3/4 · (−12) + 6 = 15 ← C(−12 , 15)

מציבים

CD = √(20² + 15²) = √625 = 25

מרחק בין שתי נקודות

✅ פתרון סופי: y = −3/4 x + 6 , CD = 25

📐 משפט

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים היא −1

m₁ · m₂ = −1

📐 נוסחה

משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה

y − y₁ = m(x − x₁)

📐 כלל

נקודת חיתוך של שני ישרים: משווים את ה־y ופותרים

📐 כלל

כופלים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

📐 כלל

מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)

📐 כלל

מציבים את הערך שמצאנו בביטוי

📐 נוסחה

מרחק בין שתי נקודות

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

בגרות 471 · קיץ 2026 מועד א · שאלה 5 · סעיף ד

נתון: יחס הדמיון בין △ABC ל־△CFD הוא 8 : 25
ד. חשבו את היקף △ABC

CF = √(11.25² + 15²) = √351.5625 = 18.75

מרחק בין C ל־F

P(CFD) = 18.75 + 31.25 + 25 = 75

היקף = סכום הצלעות

P(ABC) : P(CFD) = 8 : 25

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון

P(ABC) = 75 · 8 : 25 = 24

מציבים ומחשבים

💡 בדיקה: הצלעות של ABC הן 6 , 8 , 10 – והיקפן 24 ✔

✅ פתרון סופי: היקף △ABC הוא 24

📐 נוסחה

מרחק בין שתי נקודות

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

📐 משפט

במשולשים דומים יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון

📐 כלל

פרופורציה: כפל בהצלבה

a/b = c/d ⟹ a·d = b·c

בגרות 471 · חורף 2026 · שאלה 4 · סעיף א

ABC חסום במעגל, AC קוטר. A על ציר ה־y , B על ציר ה־x , CE ⊥ ציר ה־x
א. (1) הוכיחו: ∢ABO = ∢BCE (2) הוכיחו: △AOB ∼ △BEC

∢ABC = 90

זווית היקפית הנשענת על הקוטר AC

∢ABO + 90 + ∢CBE = 180

זווית שטוחה ב־B (O , B , E על ציר ה־x)

∢ABO = 90 − ∢CBE

מעבירים אגפים

∢BCE + ∢CBE + 90 = 180

סכום הזוויות ב־△BEC (∢BEC = 90)

∢BCE = 90 − ∢CBE ← ∢ABO = ∢BCE

מעבירים אגפים; שתיהן שוות ל־90 − ∢CBE

∢AOB = ∢BEC = 90

הצירים מאונכים; CE ⊥ ציר ה־x

△AOB ∼ △BEC

ז.ז (A ↔ B , O ↔ E , B ↔ C)

✅ פתרון סופי: ∢ABO = ∢BCE , △AOB ∼ △BEC

📐 משפט

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)

📐 כלל

זווית שטוחה: שלוש זוויות על ישר אחד, סכומן 180 מעלות

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

📐 משפט

סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות

∢A + ∢B + ∢C = 180

📐 משפט דמיון

ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים

בגרות 471 · חורף 2026 · שאלה 4 · סעיף ב

נתון: יחס הדמיון בין △BEC ל־△AOB הוא 3 , A(0 , 12) , B(9 , 0)
ב. (1) מצאו את BE (2) מצאו את שיעורי C

BE : AO = 3 ⟹ BE = 3 · 12 = 36

BE מתאימה ל־AO; יחס הדמיון

x_E = 9 + 36 = 45 ← E(45 , 0)

E על ציר ה־x מימין ל־B

EC : OB = 3 ⟹ EC = 3 · 9 = 27

EC מתאימה ל־OB

C(45 , 27)

C מעל E בגובה 27

✅ פתרון סופי: BE = 36 , C(45 , 27)

📐 כלל

במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k)

AB/DE = BC/EF = AC/DF = k

בגרות 471 · חורף 2026 · שאלה 4 · סעיף ג

בנקודה C העבירו משיק למעגל
ג. מצאו את משוואת המשיק

M = (22.5 , 19.5)

מרכז = אמצע הקוטר AC

m_AC = (27 − 12) : (45 − 0) = 1/3

שיפוע הקוטר (הרדיוס MC)

m · 1/3 = −1 ⟹ m = −3

משיק מאונך לרדיוס; ישרים מאונכים

y − 27 = −3(x − 45) ⟹ y = −3x + 162

משוואת ישר

✅ פתרון סופי: y = −3x + 162

📐 נוסחה

אמצע קטע

x = (x₁ + x₂) : 2 , y = (y₁ + y₂) : 2

📐 נוסחה

שיפוע ישר דרך שתי נקודות

m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁)

📐 משפט

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

📐 משפט

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים היא −1

m₁ · m₂ = −1

📐 נוסחה

משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה

y − y₁ = m(x − x₁)

בגרות 471 · חורף 2026 · שאלה 4 · סעיף ד

K – חיתוך המשיק עם ציר ה־x
ד. חשבו את שטח המרובע ABKC

0 = −3x + 162 ⟹ x = 54 ← K(54 , 0)

מציבים y = 0

AB = √(9² + 12²) = 15

מרחק בין שתי נקודות

BC = √(36² + 27²) = 45

מרחק בין שתי נקודות

S(ABC) = 15 · 45 : 2 = 337.5

שטח משולש ישר זווית (∢B = 90)

BK = 54 − 9 = 45 , הגובה = 27

הבסיס על ציר ה־x , הגובה – ה־y של C

S(BKC) = 45 · 27 : 2 = 607.5

שטח משולש

S(ABKC) = 337.5 + 607.5 = 945

סכום שני המשולשים

✅ פתרון סופי: שטח המרובע ABKC הוא 945

📐 כלל

נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה

📐 נוסחה

מרחק בין שתי נקודות

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

📐 נוסחה

שטח משולש ישר זווית

S = ניצב · ניצב : 2

📐 נוסחה

שטח משולש

S = (צלע · הגובה אליה) : 2

📌 מה למדנו היום

📐 משפט

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)

📐 משפט

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

📐 משפט דמיון

ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים

📐 משפט

במשולשים דומים יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון

💡 כשנותנים יחס דמיון – מסדרים את ההתאמה לפי סדר האותיות, ורק אז כותבים יחס צלעות.

סיימנו את הקורס! חוזרים על השאלות בלי להסתכל בפתרון

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא